无理数是确定的数吗?如果确定,小数位为啥无穷尽呢？

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从哲学上来看。矛盾是无处不存在的。即便以确定无疑著称的数学也不例外。数学中有大大小小的许多矛盾。例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。在整个数学发展过程中。还有许多深刻的矛盾。例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。

希帕索斯的冤案,无理数的诞生

在古希腊。有一位了不起的数学家。叫做毕达哥拉斯。他创办了一所学院“毕达哥拉斯学院”。教导了众多的学生。从而形成了“毕达哥拉斯学派”。他认为：“数是世界的生存法则。是主宰生死的力量”。因而。他们像崇拜上帝一样重视并推崇数学。

面对毕达哥拉斯提出的“数只有整数和分数”。他的学生希帕索斯疑惑：边长为1的正方形。它的对角线为什么不能用整数之比来表达 ？

为了维护学派威信。他们严封帕索斯的发现。但是“纸是包不住火的”。该发现还是被许多人知道。学派“忠实粉”追查出是帕索斯后。认为其背叛老师。违背信仰。他们残忍地将帕索斯扔进了地中海。

为了纪念他。人们就把希帕索斯发现的这个矛盾。叫做希帕索斯悖论。发现的“新数”称为“无理数”。正如后人所说的。“发现无理数的人可以被消灭。无理数本身却不能被杀戮”。

此外。这场“冤案”的出现。证明直觉和经验不一定靠得住。推理证明才是可靠的。至此以后。希腊人开始由重视计算转向重视推理。由重视算术转向重视几何学。并建立几何公理体系。

无理数小数表示的无穷性

要写出一个无理数。需要将它的所有小数罗列出来。然而。这个数列的一个鲜明特点就是无穷性：如果数列是有穷的或是无限循环的。 就证明这个无理数可以被写成两个整数的比。那么这就应当是一个有理数。

无穷性的特点只体现在小数的书写中。但是它说明了一个事实：这些数字的确是一个无穷过程的结果。假设我们想确认两个无理数是否相等。 那就必须将两个无理数的小数一位一位地比较——这将是一个无止境的工作。

对无理数的所有运算得到的结果都是无理数。无理数既是有穷的也是无穷的。这取决于我们的思考角度：从长度角度来说。线段是有穷的；但从构成线段的点的数量角度来说。线段又是无穷的。

1837年。数学家Gustav Lejeune Dirichlet发现。只要你对误差不太在意。就很容易找到无理数的近似值。他证明了对于每一个无理数来说。都存在无穷多个分数与这个数字相近。

1941年。物理学家Richard Duffin和数学家Albert Schaeffer提出了一个简单的猜想来回答这些问题。当要对无理数进行近似时。首先要选一个无限长的分母序列。这可以是一个任意数的列表。比如所有奇数、所有偶数、所有10的倍数。或者所有质数等等的序列。因此。在Duffin-Schaeffer猜想中含有一个专门用来计算每个分母可以给出的唯一分数（最简分数）的数量的项。这个项被称为欧拉函数。

但直到到十九世纪下半叶。实数理论建立后。无理数本质被彻底搞清。无理数在数学中合法地位的确立。才真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。 实数理论的建立。则有赖于微积分的发展。因为。微积分是建立在极限运算基础上的变量数学。而极限运算。需要一个封闭的数域。无理数正是实数域连续性的关键。变量数学独立建造完备数域的历史任务。终于在19世纪后半叶。由魏尔斯特（Weierstrass）。戴德金（R.Dedekind）、康托（G.Cantor）等人加以完成了。

1872年。是近代数学史上最值得纪念的一年。这一年。克莱因（F.Kline）提出了著名的“埃尔朗根纲领”（Erlanger Programm）。魏尔斯特拉斯给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子。也正是在这一年。实数的三大派理论：戴德金“分割”理论；康托的“基本序列”理论。以及魏尔斯特拉的“有界单调序列”理论。同时在德国出现了。实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义。从而建立了完备的实数域。实数域的构造成功。使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平。无理数不再是“无理的数”了。古希腊人的算术连续统的设想。也终于在严格的科学意义下得以实现。

无理数可数吗？或者说实数可数吗？

答案是：NO

康托尔运用对角线法来论证这一点。证明过程很短。却堪称精妙绝伦！（妈妈问我为何跪下看书系列）

考虑整个实数集是否可数。我们先考虑0-1之间的所有实数是否可数。假设存在某种规则能够列出0-1之间的所有实数：

0.1598545445……

0.6589745454……

0.5968974132……

0.9887946456……

0.3521587487……

0.1659842412……

……

以上的数随便写的。此时康托尔问。0.267865……在什么位置？

这个数是怎么取的呢？取第一个数的第一位小数加1。取第二个数的第二位小数加1。取第三个数的第三位小数加1。取第四个数的第四位小数加1……。也就是上面数中加粗的数字加1。

假如0.267865……在第n个位置上。则它的第n位小数应该等于第n个数（也就是它自身）的第n位小数加1。

简单说。这个数的第n位小数等于它本身第n位小数加1。显然这是不可能存在的！

所以不存在任何一种方法能够把0-1之间所有的实数全部列举出来。当然也不可能存在一种方法能够把全体实力列出来。

像这样的无穷称为不可数无穷。不管你承认还是不承认。同样是无穷。也能分出不同种类。无理数集、实数集称为不可数集。

在数轴上任取一段线段。由这些连续着的点构成的集合均为不可数集。又称连续统。基数记为c。既然已经明确了有理数代表着可数无穷。而无理数则代表着不可数无穷。那可数与不可数到底谁更多呢？换句话说。ℵ0与c谁更大呢？

现在我们给一个数填充小数位。有无数个小数位需要我们填充。而填充的数字都是随机取的。所以说都取0或者说取到一列循环数的概率为0。借助于这样一个想法。无理数不仅比有理数多。而且多得多！

怎么样能够比无穷还要多？对于集合{1}。它有两个子集：空集、{1}。子集组成的集合的基数为2^1；对于集合{1,2}。它有四个子集空集、{1}、{2}、{1。2}。子集组成的集合的基数为2^2。以此类推。若一个集合的基础为n。则其子集构成的幂集基数是2^n。

那如果原集合的基数是ℵ0呢？

事实上。康托尔已经证明出。c=2^ℵ0。这里的ℵ0是无穷大的。所以能想象c有多大吗？

康托尔所做的事情不止于此。他还猜想。在ℵ0和c之间不存在其他的无穷。即在ℵ0后的下一个无穷量便是c。即c=ℵ1（ℵ1即ℵ0后一个无穷量）。这就是著名的“连续统假说”。1900年世界数学家大会上。希尔伯特把这个问题排在了20世纪23大有待解决的重要数学问题之首。

说简单点。任何数在实数数域上都是唯一确定的。只不过有理数的小数部分是循环的。无理数不循环而已。

从无理数和有理数的分布上看。在数轴上。无理数的个数是不可数的。有理数的个数是可数的。无理数的可数性由黎曼最早证明；这个性质在某种程度上说明了无理数远远多于有理数。如果我们在数轴上随机选取一点。那么这点对应的数几乎肯定是无理数。

结语

由于第一次数学危机的发生和解决。希腊数学则走上完全不同的发展道路。形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系。为世界数学作出了另一种杰出的贡献。

其他观点：

無理數當然是確定的數。因為它在數軸上有自己確定的位置。數軸上的每一個點都表示一個確定的實數。包括無理數在內。每一個實數都可以用數軸上一個確定的點來表示。至於為什麼是無限小數。只是一個表達方式的問題。這和無理數的定義有關。請深入地瞭解一下無公度線段。就可以知道它為什麼是無限小數了。把正方形的一條邊作為單位長度。用以度量該正方形對角線的長度。這個度量過程永遠不會結束。於是就有了無限不循環小數。正方形的邊和對角線就是無公度線段。

其他观点：

如杲把这个无理数定为\"1。其他的就变为整数了。是因为我们确定度量单位时造成的。

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