计算机是如何存储小数的？在C语言编程中,应该注意什么吗？

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IEEE-754是如何存储浮点数的？

IEEE-754浮点（32位）或双精度（64位）有三个部分（在IEEE-854下也有类似的96位扩展精度格式）：符号位。表示数字是正的还是负的；指数位；以及指定实际数字的尾数位。以C语言中的单精度浮点数为例。下面是某位浮点数的位布局：

该浮点数的值等于尾数乘以 2^x。读者应该注意。上图是二进制分数。因此 0.1表示 1/2。为了方便理解。我们可以将其与十进制的小数对应起来：十进制的 0.1 等于 1*10^-1。所以二进制的 0.1 等于1*2^-1。也即 1/2。

“尾数+指数”模式存储浮点数可能有一点问题。例如：2x10^-1=0.2x10^0=0.02x10^1。依此类推。同样一个数字可能有多种“尾数+指数”的表示方法。而同时兼顾多种表示方法势必会造成巨大的浪费（也可能使在硬件中实现数学操作变得困难和缓慢）。

所以。“尾数+指数”的存储模式需要一个统一的标准。事实上。IEEE-754 确实已经有标准了：假设给定一个二进制的浮点数。那么除非这个数是 0。否则总有某个位是 1。将小数点移到第一个 1 之后。调整指数位。这样一来。“尾数+指数”的唯一存储方式就固定下来了。也即“1.m x 2^n”形式。

既然小数点前总是 1。那么上述标准下的“尾数+指数”的存储模式甚至都不需要再花费空间存储小数点前的 1.

现在读者可能又有疑问了。因为 1.0 =1.0×2^0。上述存储模式不存储小数点前的 1。也即尾数和指数部分都为 0。而“如果数字的每一位都为零。那么数字就被认为是零”。这样看来。1.0 似乎是没有办法存储的。

当然可以存储 1.0。单精度浮点数的指数部分是“shift-127”编码的。也即实际的指数等于 eeeeee 减去 127。所以 1.0 的表示方法实际上是 1.0×2^127。同样的道理。最小值本应该是 2^-127。按照“shift-127”编码指数部分。也即 2^0。可是这样又变成“指数部分和尾数部分都为零”了。因此在该标准下的最小值。实际上的写法是 2^1。也即 2^-126。

在我看来。为了表示 0 和 1。舍弃最小值（2^-127）是非常可取的做法。

零不是唯一的“特殊情况”。对于正无穷大和负无穷大。非数字（NaN）。以及没有数学意义的结果（例如。非实数。或无穷大乘以零之类的计算结果）也有表示：如果指数的每一位都等于1。那么这个数字是无穷大。如果指数的每一位都等于1。并且尾数位也都等于1。那么这个数字就是NaN。符号位仍然区分+/-inf和+/-nan。

现在。读者应该明白IEEE-754浮点数的表示方法了。下面是几个数字的表示方法：

作为程序员。了解浮点表示的某些特性是很重要的。下标列出了单精度和双精度IEEE浮点数的示例值：

注意。本文中的所有数字都假定为单精度浮点数；上面包含双精度浮点数用于参考和比较。

在C语言程序开发中。数值的处理是一门值得深究的科学。本文不可能将复杂的数值算法以及相关的C语言程序开发经验一一列出。事实上。讨论如何以理想的数值精度进行计算。就和讨论如何编写最快的C语言程序。如何设计一款优秀的软件一样。主要取决于程序员本身的综合素质。

鉴于此。这里将尝试介绍一些基础的。我认为每个C语言程序员都应该知道的内容。

相等

首先。我们应该明白C语言程序开发中的两个浮点数何时相等。可能读者并不觉得难。因为似乎C语言中的 == 运算符就能判断两个浮点数是否完全相等。

读者应该已经明白。计算机存储浮点数时。很有可能是需要舍弃一些位的（如果该浮点数过长）。如果 CPU 或者相应的程序没有按照预期四舍五入。那么使用 == 运算符判断两个浮点数是否相等可能会失败。

例如。标准C语言函数库三角函数 cos() 的实现其实只是一种多项式近似。也就是说。我们并不能指望 cos(π/2) 结果的每一个位都为零。在C语言程序开发中。我们甚至不能准确的表示 π。

看到这里。读者应该思考“相等到底是什么意思呢？”。对于大多数情况来说。两个数“相等”意味着这两个数“足够接近”。本着这种精神。在实际的C语言程序开发中。程序员通常定义一个很小的值模拟“足够接近”。并以此判断两个浮点数是否“足够接近到相等”。例如：

在本例中。EPSILON 可以看作是一种用于说明程序精度的标尺。应该明白。衡量精度的应该是有效数字。纠结 EPSILON 的具体大小并无意义。下面是一个例子。

假设在某段C语言程序中有两个数字 1.25e-20 和 2.25e-20。它俩的差值是 1e-20。远小于 EPSILON。但是显然它俩并不相等。但是如果这两个数字是 1.2500000e-20和1.2500001e-20。那么就可以认为它们是相等的。也就是说。两个数字距离足够接近时。我们还需要关注需要匹配多少有效数字。

溢出

计算机存储空间总是有限的。因此数值溢出是C语言程序员最关心的问题之一。读者应该已经知道。如果向C语言中的最大无符号整数加一。该整数将归零。令人崩溃的是。我们并不能只通过看这个数字的方式获知是否有溢出发生。归零的整数看起来和标准零一模一样。

当溢出发生时。实际上大多数 CPU 是会设置一个标志位的。如果读者懂得汇编。可以通过检查该标志位获知是否有溢出发生。

不过。将整数转换为浮点数判断是否溢出也是要付出代价的。因为浮点数可能没有足够的精度来保存整个整数。32 位的整数可以表示任何 9 位十进制数。但是 32 位的浮点数最多只能表示 7 位的十进制数。所以。如果将一个很大的整数转换为浮点数。可能不会得到期望的结果。

此外。在C语言程序开发中。int 与 float 之间的数值类型转换。包括 float 与 double 之间的数值类型转换。实际上是会带来一定的性能开销的。

读者应该明白。在C语言程序开发中。不管是否使用整数。都应该小心避免数值溢出的发生。不仅仅是最开始和最终结果数值可能溢出。在一些计算的中间过程。可能会产生一些更大的值。一个经典的例子是“C语言数字配方”计算复数的幅度问题。极可能造成数值溢出的C语言实现是下面这样的：

因此。magnitude() 函数的更佳C语言实现如下：

应该明白。上述C语言代码为了避免数值溢出。给出的实现实际上是一种近似。例如 im 等于 1e200。re 等于 1。那么 im/re 的平方仍然能够达到 1e400。这会造成数值溢出。但是平方 re/im 却是可以的。因为 1e-400 会被四舍五入到零。足够接近得到正确的答案。

有效数字丢失

上面讨论的浮点数精度。以及相等问题只是C语言程序数值运算中的冰山一角。“有效数字丢失”指的是一类情况。在这种情况下。程序员很可能丢失数值的准确性。

幸运的是。就像上面求复数幅度避免出现数值溢出一样。避免两个接近的数字相减出现精度损失的方法也是有的。但是并没有一个通用的方法。这里给出一个简单的实例就是使用 1/x 的函数代替 x 的函数。这对于处理二次运算很有效。我的建议是。如果读者发现自己的C语言程序给出了令人怀疑的数值。就应该检查一下相应的减法运算了。

看到这里。相信读者应该想到C语言程序中的加法可能也有同样的问题：假设有数字 1.0。现在将其与 1e-20 相加。程序很可能认为 1e-20 很小。小于 EPSILON。于是忽略它。得到答案 1.0。这实际上也是一种精度损失。

经验法则

正如前文举的例子 cos(π/2)。C语言它的实现实际上是一种近似。得到的答案并不是 0。而是 6.12303E-17。不过就这个答案本身而言。它已经足够小。认为等于 0 也没什么大问题。但是如果我们下一步计算是除以 1e-17。那么得到的答案就约是 6 了。这与预期的零相差甚远。

不要忘记整数

最后。在C语言程序开发中。并不是只有浮点数才重要的。整数同样重要。它的精确性是一个有用的工具。有时程序需要跟踪变化的分数（例如比例因子）。在这种情况下。既然浮点数受各种因素影响。那么我们完全可以将该分数存储为整数分子和分母来避免问题。在需要使用浮点数时。随时再做一次除法运算就可以了。

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