如何使用数学证明无理数数量多于有理数？

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为了方便。数学上将有理数集记为 Q。将实数集记为 R。从实数中除去有理数 剩下的就是 无理数。因此 无理数记为 R\Q。其中 \ 表示 差集。即。从 R 除去 Q 中元素的 意思：

同时。用 |X| 表示 集合 X 中元素个数。例如 若 X = {Tom, and, Jerry}。则 |X| = 3。这样以来。题目中：“无理数比有理数多”。可被表述为：

|R\Q| > |Q| ①

可是。我们知道：有理数 和 无理数 的个数都是 无穷多个。即。|Q| = |R\Q| = ∞。那么问题来了：对于两个 无穷大又如何比较大小呢？也就是说。如何 使得 ① 对于无穷集合有意义？

这个问题。最早欧拉大神就研究过。为此不惜规定自然数之和为 -1/12。但依然并没有找到规律。后来是 康托尔（Cantor）找到了解决问题的金钥匙——映射。

映射。记为 f: X → Y 。它描述 从 集合 X 到 集合 Y 的一种关系。即。

对于 X 中的每个元素 x 在 Y 中 有且只有一个 元素 y = f(x) 与之对应。②

康托尔 通过 对 映射关系的细分。来对 ① 进行定义：

单的：X 中的不同元素 在 Y 中 对应不同元素；

满的：Y 中的每个元素 都有 X 中的 至少一个 元素与之对应；

这说明。在统计 Y 中元素个数的过程中。Y 中 每数一个元素 y 都会 有 X 中的 y 对应的 至少 一个 元素 x 跟着计数。而且 根据 ②。不会发生 同一个 x 计数 两次的情况。于是。我们认为： Y 的元素个数 不会大于 X 的元素个数。即。|X| ≥ |Y|；

双的：既是 单的 又是 满的；

这时 X 和 Y 中的 元素 一一对应。因为 |X| ≤ |Y| 并且 |X| ≥ |Y| 所以 |X| = |Y|。

注：高中数学课本上。分别称 单的、满的、双的 映射 为。单射、满射、双射。

因为映射对于 有限集合 和 无限集合 同时有效。于是。用映射给出的 ① 的定义。对于 有限集合和无限集合 同时有效。这样就绕开 比较无穷集合大小的的纠结。

有了 映射这个利器后。虽然 Q 和 R\Q 是 无穷集合。但是 只要 找到 它们 之间 的映射。就可以 根据 映射关系的 细分 来判断 它们 之间的大小关系了。

然后。利用自然数集作为标尺来证明。

所有自然数（包括 0）组成的集合 记为 ω。对于任意集合 X。若 |X| ≤ |ω| 则称 X 可数。否则。即 |X| > |ω| 则称 X 不可数。

集合 X 可数就意味着。存在 双射 f: N → X。使得 X 中元素 和 自然数 的 全体 或 部分 N = {0, 1, 2, ..., n, ...} 一一对应 f: N → X 。于是就 可以 以 N 中自然数为下标 将 X 的元素排成一列：

称 X 可列。反之亦然。这说明。X 可列 必然 X 可数。X 可数 必然 X 可列。

先证明了 Q 可数：

任何 正有理数数 都可 表示为 两个正整数 的比值。因此我们可以建立下表：

沿着。箭头的路线。将 重复的 正有理数 删除。则 所有 正有理数数 组成一个 序列：

于是可以建立 自然数集 ω 和 有理数集 Q 之间的一一对应关系：

这就证明了 |Q| = |ω|。即。Q 可数。

再证明 无理数 R\Q 不可数：

考虑 (0, 1) 之间的 无理数。将它们写成无限不循环小数。假设 它们 可数。则可列。于是将它们排成一竖列如下：

接着我们将构造一个 新的无理数：

构造过程如下：

如果 a₀ 的第1位小数 a₀₁ ≠ 6 则 b 的第1位小数取 b₁ = 6。否则取 b₁ = 9；

接着。沿着竖列向下。找到 无理数 aᵢ₁。满足。它的第1位小数 aᵢ₁₁ = b₁。如果 aᵢ₁ 的第2位小数 aᵢ₁₂ ≠ 6 则 b 的第2位小数取 b₂ = 6。否则取 b₂ = 9；

接着。沿着竖列向下。找到 无理数 aᵢ₂。满足。它的第2位小数 aᵢ₁₂ = b₂。如果 aᵢ₂ 的第3位小数取 aᵢ₁₃ ≠ 6 则 b 的第3位小数取 b₃ = 6。否则取 b₃ = 9；

...

这样我们就得到了一个新的 无理数 b。根据构造过程 b 不等于 竖列 中的任何无理数。这和 竖列 包含所有 (0, 1) 之间的所有无理数 矛盾。

这就证明了 (0, 1) 之间的无理数不可列。进而 全体有理数 R\Q 也不可列。于是 R\Q 不可能 和 ω 一一对应 。即。|R\Q| ≠ |ω|。

而很容构造映射 f : ω → R\Q。如下：

f(n) = n + √2

显然 f 是单的。于是有：

|ω| ≤ |R\Q|

上面已经证明了 |R\Q| ≠ |ω|。于是得到

|R\Q| > |ω|

即。R\Q 不可数。

综合。由上面的证明结果：

|Q| = |ω|。Q 可数；

|R\Q| > |ω| 。R\Q 不可数；

得到：

|R\Q| > |Q|

即。无理数比有理数多。

最后。实际上无理数比有理数多的多。

可以这样想象（并非证明）：

设。袋子里有十个球。分别标记有 0 到 9 十个数字。每次随机的取一个球。记录球上的数字。然后将球放回；用这个记录的数字 作为 (0, 1) 之间小数的一个小数位。

如果。要使得这个小数是有理数。则必须 从 某次取球之后。每次都取到 0 号球（或按照某些固定循环 取球）。因为要无限的取下去。所有这种事件的发生概率。为 0。其逆事件。即。小数是无理数。的发生概率是 1。

由此可见。通过取球生产的 (0, 1) 之间小数。该小数是 无理数 是必然事件（概率 P = 1）。该小数是 有理数 是 不可能事件（概率 P = 0）。这就说明 无理数比有理数多的多。

注：对于有无穷个样本点的样本空间。不可能事件 也会发生。

事实上。在《测度论》中。有理数集 Q 就是 零测集。不过这个就扯远了。这里打住。

（以上的证明并不简洁。应该有更好的证明方法。希望各位数学大神不吝赐教！另外。由于本人数学水平有限。出错在所难免。欢迎各位老师批评指正！）

其他观点：

(1)如果集A中的元素。都是集B的元素。那么称A是B的子集。记做A(B（符号是∪横过来的样子。打不出来。暂以(代替）。 根据定义有A(A。 　　(2)另外我们定义不含任何元素的集合为空集。规定空集是任何集合的子集。空集记做φ。 　　(3)如果集合A(B。而B中确实存在不属于A的元素。那么称A是B的真子集。 　　(4)如果A(B。且B(A。那么A、B由相同的元素组成。此时称A=B。 　　(5)由集A和集B的一切元素组成的集合。叫A和B的和集或并集。记做A∪B。 　　(6)所有既属于集A又属于集B的元素组成的集合。叫A和B的通集或交集。记做A∩B。 　　这两个概念可以推广到任意个集合进行并或者交的情形。 　　(7)若A∩B=φ。称A、B不相交。否则称A、B相交。 　　从以上概念定义可以推导出集合运算的一些性质： 　　1. A∪A=A。 A∩A=A 　　2. A∪φ=A。 A∩φ=φ（φ类似于0。∪类似于加法运算。∩类似于乘法运算） 　　3. A∪B=B∪A。 A∩B=B∩A （并、交的交换律） 　　4. (A∪B)∪C=A∪(B∪C)。 (A∩B)∩C=A∩(B∩C) （并、交的结合律） 　　5. (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) （分配律） 　　再来定义集合的“减法”： 　　(8)集合A中所有不属于集合B的元素组成的集合。称作集A减集B的差集。记做A-B。注意这里并不要求B(A。 　　(9)如果B(A。则称差集A-B为集B关于集A的余集。记做C(A,B)。 　　(10)(A-B)∪(B-A)称做A、B的对称 差。记做A△B。实际上它就是那些只属于A或只属于B的元素组成的集合。 　　同样从以上概念定义可以推导出集合“减法”运算的一些性质： 　　6. 如果A(B。那么A-B=φ 　　7. (A-B)∩C=(A∩C)-(B∩C) （“减法”的分配律） 　　8. (C-A)-B=C-(A∪B) 　　9. A∪B = (A△B)∪(A∩B) 　　以上只是集合的一些基本概念定义。下面来定义集合的映射： 　　(11)设A、B是两个非空集。如果存在一个规则ψ。使得对于A中的任何一个元素x。按照规则ψ。在B中有一个确定的元素y与之对应。那么称这个规则ψ是从A到B的映射。元素y称做元素x（在映射ψ下）的象。记做y=ψ(x)。 　　(12)对任一个固定的y。称适合关系y=ψ(x)的x全体为y（在映射ψ之下）的原象。集合A称作映射ψ的定义域。ψ(A)称作映射ψ的值域。注意ψ(A)不一定等于B。只能说它一定是B的子集。 　　(13)如果ψ(A)=B。那么称ψ是 A到B上的 映射。又称为A到B的满射。 　　特别地。如果A、B都是实数或复数集。那么ψ就是我们高中时候学过的所谓函数了。所以函数不过是集合论中的一个特例罢了。 　　下面要讲讲一一对应（这些概念都跟函数中概念类似）。 　　(14)设ψ是 A到B中的 映射。若对每一个属于ψ(A)值域的y。A中只有一个元素x满足ψ(x)=y。那么称ψ是可逆映射或一对一的映射。或单射。 　　换句话说。对A中任意两个元素x1。x2。当x1不等于x2时。必然有ψ(x1)不等于ψ(x2)。那么ψ就是 A到B的 可逆映射。 　　(15)设ψ是 集A到集B上的 可逆映射。那么称ψ为A到B的一一对应或双射。 　　也就是。如果ψ是A到B的一一对应。意味着对于A中任何一个元素a。有唯一的b=ψ(a)。且对B中的每一个元素b。必在A中有唯一的元素a。适合ψ(a)=b。 　　这里尤其要注意“A到B中的(或A到B的)可逆映射”跟“A到B上的可逆映射”的区别。否则容易将可逆映射跟一一对应搞混。相信高中时候专心记笔记的人还有印象吧。因为讲函数的时候。这个中跟上的区别仍然会强调的。 　　例如。假设ψ是A到B中的可逆映射。那么或许在B中还存在某个元素y。它是无法由ψ来从A中任何一个元素对应过来的。但如果ψ是A到B上的一一对应。那么这样的y是不存在的。 　　对等的概念。 　　(16)设A、B是两个集。如果存在一个A到B的一一对应。那么称集A与集B对等（或相似）。记为A～B。规定空集跟自身对等。 　　接下来。集合的势的概念快要出来了。而对等的概念是我们建立势的理论从而对集合进行比较的基础。 　　例如。正偶数集合和自然数集。ψ:n->2n。即可使得两集合之间建立一一对应。因此他们是对等的。 　　显然。对等具有以下性质： 　　10. A～A。对等的自反性 　　11. 若A～B。那么B～A。对等的对称性 　　12. 若A～B。B～C。则A～C。对等的传递性 　　刚才已经强调过。若ψ是A到B中的可逆映射。ψ未必是A到B的一一对应。但我们知道ψ实现了A到值域ψ(A)的一一对应。因此A与B的子集ψ(A)对等。 　　如果A与B的子集对等。而B又与A的子集对等。那么可以证明A、B是对等的。这个定理叫伯恩斯坦(Bernstein)定理。 　　好了。前面这些概念和定理都是在做铺垫。现在我们要正式开始进行集合个数的比较了。 　　集论最初的一个基本课题就是研究元素个数有多少的问题。我们称之为集的势论。 　　关于事物的多或少是很普通的概念。例如。问：某班学生人数与教室的凳子数哪个多？最笨但也最显然的方法是规定每个学生都去坐在凳子上。而且一个学生只能坐一张凳子。最后。如果有学生没坐到凳子。那么便是学生多。如果最后有凳子空着。那么便是凳子多。 　　所以。类比上面这样的方法。我们引入以下这个定义： 　　设A、B是两个集。 　　(1)如果A和B对等。那么称A和B具有相同的势（或基数）。记集A的势为P(A)（其实正确的写法是A上面两横。因为无法打出这样的符号。就以P(A)代替。不影响讨论）。A和B具有相同的势时。记为P(A)=P(B)。 　　(2)如果A对等于B的某个子集B1。那么称A的势小于或等于B的势。记为P(A)

其他观点：

能证明无理数的数量多于有理数。但没有什么简单的证明。因数学本身就不简单。

无理数、有理数都是无穷多个。为什么无理数数量会多于有理数呢？一个无穷多比另一个无穷多是什么意思？这个还是可以简单地、粗略地。不严密地说明一下的。

既然“可数”就好办了。那挨个发号。第一个分数1号。第二个呢2号。以此类推把所有分数都编上号。形成一个可数的无穷集合。

所有可数的无穷集合中的元素都是一样多的。整数、偶数、有理数他们统统和自然数一样多。因为他们每个数都可以对应一个自然数（编号）。

把1号到最后一号的分数都加上一个无理数。比如根号二。那么得到一个无理数可数无穷集合。集合元素数量和有理数集合元素是一样多。换个无理数。比如根号三。再重复上述工作。又得到一个无理数集合。元素数量还是和有理数集合元素数量一样多。不断地更换无理数。得到无穷多个无理数集合。显然无理数比有理数多得多。

这么说还有点疑问。如果把所有无理数都“数”出来。也挨个编上号。照上面的逻辑来呗！

无理数能“数”出来么？无理数是无限不循环小数。小数点后面数字随便瞎编就是无理数。谁能找到瞎编的规律呢。所以不能用一个有规律的方式“数”出无理数来。

所以无理数集合是个不可数的无穷集合。

无理数不单比有理数“多”。而且“多得多”！

因为有理数是有规律的。就是小数点后面的数字是按照某种规律循环的。比如1/3就是0.3333333……（循环3）；6/7就是0.857142857142……（循环85714）。十进制一共就十个数字。我们在这十个数字里面随机挑选一个放在小数点后第一位。再从十个数字随机挑选放在第二位。以此类推。挑出一个无限循环小数的可能性有多大呢？一点可能性也没有！

就是说如果随机组合数字得到一个数。那么一定是无理数。有理走遍天下。但走遍天下也整不出个有理数来。

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