有理数和无理数都是无穷多的,那么究竟是无理数多还是有理数多,能说清吗？

试试语音读文章

热门回答：

首先证明。任意两个可数集的合集仍为可数集。

设集合A={a1,a2,a3...},B={b1,b2,b3...}且A,B集合均为可数集合

也就是

A: a1 a2 a3 ... B: b1 b2 b3 ...

分别与自然数相对应

1 2 3 ... 1 2 3 ...

则AB合集{a1,b1,a2,b2,a3,b3...} 可与自然数一一对应

a1 b1 a2 b2 a3 b3 ...

1 2 3 4 5 6 ...

所以两个可数集的合集是可数集。

下面证明有理数是可数集。也就是有理数和自然数一样多。

有理数可以化成a/b,a,b皆为整数且b不为0,将它化成集合C=(a,b)

因为a为整数。b为不为0的整数。所以a、b都是可数的。

设a=1,则可以得到新的集合Ca={(1,1),(1,-1),(1,2),(1,-2)...}

因为b是可数的。所以Ca集合也是可数的。

设b=1,得到集合Cb={(1,1),(-1,1),(2,1),(-2,1)...}

同上。Cb也是可数集合。

根据前一证明。两个可数集的合集可数。所以Ca与Cb的合集C为可数集合。即有理数为可数集。所以有理数和自然数一样多。

然后证明。实数集是不可数的。

设一个无理数H=0.abcdefgh.... ,a,b,c,d,e,f,g,h..是1-8间的正整数。

假设a=4,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=3,h=5,...

则H=0.42347635...

假设0和1间的所有实数是可数的。

设它的集合X={x1,x2,x3,...}

x1 x2 x3 x4 x5 ....

1 2 3 4 5 ....

设a和x1小数点第一位不同

b和x2的小数点第一位不同

c和x3的小数点第一位不同

……

根据已设条件。无理数H小数点后每一位都在1-8之间。

也就是H不可能为0.0000000....=0 或者 0.999999999999...=1

所以H也在0和1之间

又因为 a和x1小数点第一位不同

b和x2的小数点第一位不同

c和x3的小数点第一位不同

……

所以H不可能出现在X集合里。也就是H不在01之间

由此出现前后矛盾。01之间的实数应为不可数。

所以实数也是不可数的。

最后证明无理数是不可数的。

根据前面的证明过程。实数分为有理数和无理数。已证明实数集不可数而有理数集可数

所以无理数不数

故无理数比有理数多

其他观点：

实变函数论里的知识。无理数的个数等于2的有理数个数的次幂。前者是阿列夫。后者是阿列夫零。

其他观点：

肯定无理数多。因为无理数包含了有理数。假如只有2的平方根为无理数。那么无数理至少比有理数多一个。有理数好比颗粒。再小也是颗粒。无理数是气体。可以渗透颗粒中任意细小的间隙。

• 想开个店,开什么好呢？资金不多,刚刚创业。谢谢？
• 有什么行业适用于初创业？
• 刚入社会的人想开店,最好开一家什么店？
• 我是一个创业小白,想要开一家店铺,大家有什么好的推荐吗？
• 刚创业,投资新项目有什么选择？

以上就是由互联网推广工程师 网创网 整理编辑的，如果觉得有帮助欢迎收藏转发~