如果随意写一段数字,这段数字是不是一定能在任意无理数中找到？

热门回答：

（以下回答默认十进制。 B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}）

首先。证明一个相关命题：

如果任意给一段数字。则一定可以找到一个无理数。包含这段数字。

证明：

设。随意一段数字为： a₁a₂...aᵣ。其中 aᵢ ∈ B （i = 1,2, ..., r）。

假设, 它不是任意无理数的第 1 到 r 小数位。即。不存在：

x.a₁a₂...aᵣx₁x₂... , x ∈ Z, xᵢ ∈ B, （i = 1, 2, ... r）

这样的无理数。 令：

k = 0.a₁a₂...aᵣ ( 0 < k < 1)

则上面的假设。说明在区间：

I = (x + k , x + k + 10⁻ʳ)

中没有无理数。

我们知道 √2 是无理数。并且有：

1.4 < √2 < 1.5

于是：

0.4 < √2 - 1 < 0.5

0.4 × 10⁻ʳ < (√2 - 1) × 10⁻ʳ < 0.5 × 10⁻ʳ

x + k + 0.4 × 10⁻ʳ < x + k + (√2 - 1) × 10⁻ʳ < x + k + 0.5 × 10⁻ʳ

令：

y = x + k + (√2 - 1) × 10⁻ʳ

因为 √2 是无理数。而 x, k, r 都是有理数。所以 y 是无理数。

另一方面。因为：

x + k < x + k + 0.4 × 10⁻ʳ

x + k + 0.5 × 10⁻ʳ < x + k + 10⁻ʳ

所以：

x + k < y < x + k + 10⁻ʳ

即：

y ∈ I

这和上面 I 中没有无理数。矛盾。故假设不成立。于是：

对于随意一段数字 a₁a₂...aᵣ 一定会 和 某个 无理数的 第 1 到 r 小数位相同。

接着。进入主题：

定义：如果 一个无理数 可以 包含任意给定的一段数字。则称 其 为 合取数。

题主问题可表示为。猜想：任意无理数 x 都是 合取数。

分析：

设。随意一段数字为： a₁a₂...aᵣ。其中 aᵢ ∈ B, （i = 1,2, ..., r）。

令 P(a₁a₂...aᵣ) 为 a₁a₂...aᵣ 在 x 中出现的概率。则：

P(a₁a₂...aᵣ) = P(a₁)P(a₂)...P(aᵣ)

只要 B 中个数字 在 x 中 出现的 概率 不为 0 则每个 P(aᵢ) 就不为 0。于是：

P(a₁a₂...aᵣ) ≠ 0

则 猜想 成立。

但是。我很容易将 x 写成 二进制形式 x'。x' 只包含 0 和 1：

x' = b.b₁b₂...。 bᵢ ∈{0, 1}。 (i = 1, 2, ...)

由于 x' 是无限不循环的。于是我们可以将 x' 当做十进制（这时 x' ≠ x）。这样我们就得到了 一个 B 中 P(2) = P(3) = ... = P(9) = 0 的 十进制无理数 x'。于是 只要 a₁a₂...aᵣ 有 aᵢ ≠ 0 或 1。则 x' 就不包括 a₁a₂...aᵣ 。这与 a₁a₂...aᵣ 的任意性。违背。于是很遗憾题主的猜想 不成立。即：

不是任取一个无理数都可以包含任意给定的一段数字的。

数学上称 B 中数字 出现概率 相同（均为 1/10) 的 无理数为 正规数。对于 正规数 来说 P(a₁a₂...aᵣ) = 10⁻ʳ ≠ 0。于是 猜想 成立。即：

任意 正规数 包含任意给定的一段数字的。①

试验表明。√2。π。e 接近 正规数。但我们无法证明 它们是 正规数。事实上。我们也无法证明任何一个无理数是 正规数 或 合取数。这也就是说：我们虽然得到了上面的结论 ①。但是毫无用处。

其他观点：

0.101001000100001……这个是无理数。但它只有0和1

其他观点：

无理数没有规定的表达方式。一部分可以有理数加运算法则来表示。绝大部分根本找不到表达式。任意写一段数字。加运算符号。本身可以组成无穷量的无理数。有理数加无理数可以构造无理数。有理数加无理数再加其他运算符号也可以构造无理数……

如2。运算符号。开方。实数的任意次方基本都是无理数。只有0次方和1次方是有理数。三角函数。sin2……也是无理数。对数。lg2……以任意实数为底构造无理数。

无理数太多了。有理数少得可怜。

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