如何证明空间函数在何处间断？

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空间函数属于多变量微积分的部分。多变量微积分是对单变量微积分的推广。主要是利用微积分的方法来研究多元函数。其研究脉络基本与一元函数相同。主要包括了多元函数的极限。连续性。导数。积分等等。不过因为多元函数是在比平面更为复杂的空间中进行研究。所以每一部分内容相应的也要复杂很多。

多变量微积分中所研究的函数对象。根据其自变量与因变量的维度不同划分为三个类型。

自变量是多维的。因变量是一维的。这种函数就称为多元函数。其中比较特殊的情况是自变量是二维的。称之为二元函数。通常情况下记作z=f(x,y)。那这样一来它表示的就是空间中的一个曲面。

自变量是一维的。因变量是多维的。这种函数称之为参数函数。有时也叫向量函数。如果因变量是二维的表示的。就是平面上的一条曲线；因变量是三维的表示的就是空间中的一条曲线。

自变量和因变量都是多维的。这种函数称之为向量场。通常情况下。我们研究自变量与因变量都是二维的情况。即平面上的向量场；以及自变量与因变量都是三维的情况。即空间中的向量场。

不管是上面哪种情况。要想研究他们的连续性。就必须搞清楚连续性的定义是什么。我们已经说过多变量微积分是沿袭的单变量微积分的思想。因此我们需要首先来看一下单变量微积分中是如何来研究连续性的。

1.单变量微积分

单变量微积分的研究对象就是普通的一元函数y=f(x)。它的连续性是利用极限来定义的。函数f(x)在x=a点处连续。意思就是函数在这一点的极限值等于它的函数值f(a)。即：

它的图形解释就是函数在a点处有一个取值f(a)。当x无限向a靠近的时候。函数值也无限靠近f(a)。这样的话曲线和点就可以连上。于是就称为函数在这一点连续：

因此判断函数在某一点是连续的还是间断的。只需要把这一点的极限值求出来。再与函数值相比较即可。如果二者相同则是连续的。如果不同则是间断的。因此函数连续性的问题本质还是在求极限的问题。在数学分析里面。我们给出了一个函数在一点极限的精确定义：

这就是著名的关于极限的ε-δ定义。它的图形解释如下

ε-δ定义。是经过了柯西(Cauchy)。阿贝尔(Abel)。波尔查诺(Bolzano)等数学家的努力。最后由德国数学家魏尔斯特拉斯(Weierstrass)最终提出。它的提出彻底地消除了第二次数学危机。将整个微积分建立在严密化的基础之上。在数学史的发展中具有里程碑的意义。

套用到连续性的定义上。我们就有：

讨论完单变量微积分。按照相同的思想。我们就可以来研究多变量微积分了。

我们按照上面列举的三种类型的函数顺序来进行研究。

2.多元函数的连续性

我们就以二元函数z=f(x,y)为例子。我们已经说过。它的图像表示的就是空间中的一个曲面：

各种各样的空间曲面

多元函数在一点的连续性同样是用该点处函数的极限值等于函数值来定义的。

在一点的函数值非常好算。只需要把该点处的x和y带到函数表达式里面即可。那么最重要的问题来了。多元函数在一点的极限值又如何来定义和计算呢？

二元函数的自变量是平面上的一个点。一个点对应一个函数值。于是我就可以给先给出一个极限粗略的定义。设P是平面上的动点。P0是平面上的一个定点。当P无限地朝向P0运动时。f(P)的值无限向某个数L靠近。那我们就说这个二元函数在P0处的极限等于L。

当然这只是一个很粗略的定义。要想下一个严格的定义。我们则需要使用ε-δ语言。在一元函数里面。我们需要让x和a离得特别近。用的方法就是|x-a|小于一个δ。同样地。这里我们只需要让P和P0的距离小于δ即可。而平面上的两点距离可以使用勾股定理计算。于是我们可以写出如下定义。设P点的坐标是(x,y)。P0点的坐标是(x0,y0)。就有

我们也可以用图形来解释一下这个定义。当P点离P0的距离小于δ的时候。意味着P点落在以P0为圆心。δ为半径的圆里面。而此时。f(P)的值需要落在L上下相距ε的两个平面之间。图形如下：

当然。有的时候为了计算上的方便。我们把圆形改成正方形。于是就得到了下面等价的定义：

知道了函数的极限。我们就可以来定义函数的连续性了。同样的。按照一元函数的思路。我们可以来定义：若函数在P0点的极限值等于函数值。则称它在该点处是连续的。否则称为间断的。即函数在一点处连续需要满足的式子是：

所以我们的核心还是归结为到求多元函数在一点处的极限值。拿它跟P0处的函数值相比较。二者相等即为连续。而对于间断的情况。分为两种可能：一种可能是函数在这一点的极限值存在。但是这个极限值和函数值不相等；第二种情况是函数在这一点的极限根本就不存在。就更无所谓与函数值相等了。这两种情况我们分别来举例子。

极限值存在。但不等于函数值的例子

讨论下列函数在(0,0)点的连续性

这是个分段函数。在(0,0)点以外的地方。分母是2次式。分子是3次式。因此考虑极坐标代换的方法。回忆一下极坐标转直角坐标的转化公式：

于是可以得到：

我们来观察一下这个式子。括号里面是三角函数的式子。而三角函数一定位于-1~1之间。所以括号里面的表达式一定位于-2~2之间。于是它就是一个有界量。而当P向P0靠近的时候。3r一定也是向0靠近的。所以它是个无穷小量。而我们知道。无穷小量乘以有界量。极限一定还等于0。于是

但是原来的函数在(0,0)这一点的取值为1。因此这一点的极限值不等于函数值。所以在这一点函数是间断的。

这个函数的图像画出来是下面这个样子。我们可以根据图像来初步感受一下在(0,0)点的连续性：

注意这个图像在(0,0)这一点的取值为1。就是上面红色的点。所以在这一点处它是不连续的。

极限值不存在的例子

在学一元函数的时候。我们曾经学过求x向某一点趋近时的极限。我们要考虑左侧和右侧。也就是它有两种趋近方向。但是对于二元函数情况则要复杂的多。因为在平面上。一个动点向一个定点靠近。它的趋近方向可就不止一种了。甚至都不必走直线：

只有当P沿所有路径趋近P0时。函数的极限值都是相等的。那我们才说。函数在这一点的极限存在。但凡你能找到两条路径。使得沿着这两条路径趋近的极限不同。那么就可以说明函数在这一点的极限不存在。

这就是证明多元函数在一点不存在极限的方法。按照这种方法。我们来看一下下面这个例子：

讨论下列函数在(0,0)点的连续性：

我们选择两条不同的路径：

1、我们选择路径y=x。当(x,y)不在(0,0)时。有：

因此此时极限值为1/2

2、我们选择路径y=2x。当(x,y)不在(0,0)时。有：

因此此时极限值为2/5。

我们选择两条不同的路径。得到了两个不同的极限值。因此函数在这一点的极限是不存在的。就更无所谓是否与函数值相等了。于是函数在(0,0)点就是间断的。它的图形是下面这个样子：

好了。上面就是多元函数的连续性与间断性的一般方法。我们来看下一类函数——向量函数。

3.向量函数的连续性

我们首先需要搞清楚向量函数的概念。就拿三维向量函数举例子。

三维向量函数的自变量是一维的。我们一般用t来表示。而它的因变量是三维的。是一个向量的三个分量。所以一个三维向量函数通常写成以下这个样子：

有的时候我们也写成下面这个样子：

这个样子的式子跟上面那个式子从本质上讲是一样的。但是排列成这种形式。我们就一般把它看成是以t为参量的参数函数。

三维向量函数或三维参数函数。它的图像就是空间中的一条曲线。随着t的变化而滑出一道轨迹来。

生活中的许多现象用普通的函数非常难研究。于是这时就需要使用参数函数。比如最典型的例子有螺旋线。摆线等等。我们研究平面上或空间中的物体运动问题。有时候也要使用参数方程。下图展示的就是各种各样的空间曲线：

那么我们如何来研究一个向量函数。在某一点的连续性呢？同样我们需要使用极限的概念。这里就是向量函数的极限。

还是先从直观上来看。向量函数在t=a处的极限。相当于t无限的向a靠近的时候。它所代表的向量r(t)也无限的向某个向量来靠近。这个向量就称为向量函数在t=a处的极限。我们先看一个简单的示意图：

下面来研究如何把它写成严格的ε-δ定义的形式。遇到的一个比较困难的问题。就是如何形容两个向量挨得无限近。我们用的方法是两个向量做差得到的差向量的模长无限短。于是就得到如下定义：

上面这个定义虽然是官方的定义。但是实用性却不太强。因为求向量模长是一个比较复杂的问题。幸运的是。我们有一个定理。求向量函数的极限就相当于求向量函数各个分量的极限。而每一个分量都是个一元函数。它的极限是比较好求的。定理如下：

因此。向量函数的本质实际上就是多个一元函数。研究方法跟一元函数是完全平行的。我们定义向量函数在某一点的连续性。自然也是同样的思想。即。如果满足

那么就说向量函数在t=a这一点是连续的。利用定理就可以得到。它充分必要条件就是：

因为是充分必要条件。所以上边的三个式子里边儿但凡有一个不成立。那么向量函数的极限也就不可能等于向量函数值。于是在这一点就是断开的。根据这一点。我们就可以很轻易地找到在某一点是断开的向量函数。比如下面这个例子：

很明显我们知道

但是

因此这个函数在t=0这一点是间断的。可以看出来。向量函数的连续性就可以划归为多个一元函数的连续性。因此它没有增加实质上的新东西。我们对向量函数的介绍也就到此为止。

向量场是比前两者都要更复杂的函数。它的自变量和因变量都是多维的。意思就是说它的自变量和因变量都是向量。比较常见的是自变量与因变量都是二维向量的平面向量场。以及自变量与因变量都是三维向量的空间向量场。他们的本质就是在平面上或空间中的每一个点都指定一个向量。物理中常见的力场。电场。磁场等等。都是某种特殊的向量场。包括数学中的梯度场。也是一种特殊的向量场。下图中所展示的是几个常见的空间向量场：

向量场本质上也是一个函数。而它的函数表达式从结构上来看就更加复杂了。我们来研究从m维向量空间到n维向量空间的向量场。首先写成一个简单的样子如下：

其中的x表示的是一个m维向量。y表示的是一个n维向量。所以把它们写开之后。实际上是这个样子：

而y的每一个分量又可以表示成x中每一个分量的函数。所以实际上一个向量场是由n个m元函数组成的。即：

定义向量场的极限依然使用的是老方法。即自变量向某个向量无限靠近的时候。因变量也向某个向量无限靠近。这样就定义了向量场在某个向量处的极限。稍微麻烦一点的是现在自变量与因变量都是向量。向量与向量无限靠近靠近。我们前文已经说过。用的是两个向量的差向量的模长无限小来描述。于是我们就得到了以下形式的定义：

其中向量的模长就是用勾股定理来定义的：

前面介绍向量函数的极限时。我们有一个充分必要条件。即可以把向量函数的极限转化为多个一元函数的极限。同样道理。我们这里也有类似定理。可以把向量场的极限转化为分量函数的极限。只不过现在的每一个分量函数都是一个多元函数。因此它的极限又需要使用多元函数的极限的定义。这里就不再赘述了。有了极限的概念。我们自然可以利用极限来定义向量场的连续性。跟前面的思想几乎完全是一样的。若向量场在某个向量处的函数值等于极限值。则称向量场在该向量处是连续的。这里也不再赘述了。

向量场的连续性在拓扑学中有着非常重要的研究价值。比如有一个非常著名的定理。它的名字很奇怪。叫做“毛球定理”。这个定理本身叙述起来比较简单。为了形象的理解。我这里只说一个简化的版本：

毛球定理(二维情形)：二维球面上不存在连续的向量场

毛球定理在生活中其实有很多应用。他告诉我们。你永远无法把一个长满毛的球上面的毛全都抚平。它还解释了其它现象。比如。为什么人的脑袋上总会至少有一个“旋儿”？为什么台风总会有一个台风眼？及还有一个比较神奇的结论。在任何一个时刻你都可以找到地球上的某个点。在这一点处空气是完全静止的。即完全无风。因此这个定理在气象学上也有很重要的应用。

参考文献

[1] Calculus, early transcendentals, 11ed, Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, JOHN WILEY & SONS, INC

[2] Calculus, early transcendentals,7ed, James Stewart, Brook/COLE

[3] Precalculus, 7ed, James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson, CENGAGE

[4] Precalculus, 9ed, Michael Sullivan, PEARSON

[5] 《数学分析》华东师范大学数学系。第四版。北京。高等教育出版社

其他观点：

说了半天不着正题。这就是我们的学术？函数没有定义。多简单啊。你就是不说。难道你也不清楚它与下定义所区别？

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